あなたの１クリックで世界が激変する（笑）
ピタゴラスコンマの概念を（今さら＆偉そう～に）解説してみる [音律（調律）の基礎知識]
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【koten】：さてさて、今日もやって来ました、「ミーントーン大好き！」のコーナー（☆◇やんややんや◇☆）
【イッテツ】：今日は何の議題かいな？
【koten】：今日は音律の議論をする上で必ず知っておかなければならない「ピタゴラスコンマ」の解説でもしましょうか？
〔Ｍ〕：それ、ここに来るような人はみんな知っているのでは？（汗）
【koten】：いや、最近、○○大学古典ギタークラブの人が読みに来てるはずだから、その人達のために。あと、昨日の１９世紀うねうねフレットギターの音律の数値を発表しようと思ったのだけど、その「数値の意味」を読者全員に理解してもらうためには、基礎知識の講義もしておかないと、、、でしょ？
【イッテツ】：出来るだけ多くの人に理解してもらおう＆布教しようって算段か・・お前さん、ナカナカやるじゃないか（笑）
【koten】：何せ「悪」ですからね（笑）
〔Ｍ〕：それじゃ、早速はじめましょうよ。
【koten】：ほいほい・・・ええと、○○大学古典ギタークラブの皆さま（特に現役生の方）、クラシックギターでは「即効性」のない知識かも知れませんが、「ピタゴラスコンマ」は結構重要＆分かると非常に面白いものですので、まずはこれだけでも知っておいていただけると嬉しいです。
ちなみに当クラブのＯＢ会ＭＬに入っている方は、ここをクリックすれば解説に辿りつけます。
http://file1.grp.yahoofs.jp/v1/sAwzTJxQDLxbtp3OMdVLdNp1_a54XAagglBT27xS7a_z9OE5pyyvCJ7LfP-2-GmCxxdhy1R1vQgwZJLQ9Mj4QdmcvEU/%80%A0%A3%BE%AE%C0%EE%A4%CE%C3%CF%B2%BC%BC%BC/%80%A0%A3%A5%DE%A5%CB%A5%A2%A5%C3%A5%AF%A4%CA%C9%F4%B2%B0%28%5E_%5E%3B%20%28%80%A0%A3%B4%C0%A1%CB/%80%A0%A3%C4%B4%CE%A7%CF%C0%C6%FE%CC%E7%B0%CA%C1%B0
ＯＢ会ＭＬ入ってない方で興味がある関係者の方（現役生又はＯＢ）は、是非ＭＬに入ってくださいね～
これで終わってはイジワルなので（笑）今回だけ（？）は、コピペしますね。
－－－コピペモード（若干修正＆図の加え等あり）－－－－－－－－－－－－
調律論の基礎知識
*「オクターブ絶対」の原則
*「きれいな５度（できるだけ純正に近い５度）を作るよりも、
きれいな３度（できるだけ純正に近い３度、特に「長」３度）を作る方が重要である。」
*「（その調の）３度がどう調整されるか（純正にどれだけ近いか or
遠いか）によって、（その調の）『性格』が決まる。
（ｅｘ．明るい/暗い、力強い、華やか、透明感がある、などなど）。」
【ここから本論！】
※純正５度を積み重ねると、なぜ「元の高さよりも高くなってしまう」のか？＜以下、【力技モード】(^_^; (汗）＞
ｅｘ．Ａ（イ）の音（110Ｈｚ，220Hz，440Ｈｚ，880Ｈｚ，・・・）を基準に考えてみると、
1.純正５度（周波数比２：３）でＥ（ホ）の音を作ると、
・・330Hz，660Ｈｚ，・・となる。
（↑要するに、元の音に「３」を掛けて、適宜「２」で割れば良い。）
2.次の５度（Ｂ（ロ）音）を純正５度で作ると、
・・495Hz，990Ｈｚ，・・となる。
3.次の５度（Ｆ＃（嬰ヘ）音）を純正５度で作ると、
・・742.5Hz, 1485Ｈｚ，・・となる。
4.次の５度（Ｃ＃（嬰ハ）音）を純正５度で作ると、
・・（すみません、小数点でてくると煩雑になるので、以下は整数値の値だけ記しますね（汗））・・・・4455Hz・・となる。
5.次の５度（Ｇ＃（嬰ト）音）を純正５度で作ると、
・・（小数点の値は省きます～）・・・・13365Ｈｚ，・・となる。
6.次の５度（Ｄ＃（嬰ニ）音）を純正５度で作ると、
・・（同上ですぅ～）・・・40095Ｈｚ，・・となる。
7.次の５度（Ａ＃（嬰イ）音）を純正５度で作ると、
・・（同上ですぅ～）・・・120285Ｈｚ，・・となる。
8.次の５度（Ｆ（ヘ）音）を純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・360855Ｈｚ，・・となる。
9.次の５度（Ｃ（ハ）音）を純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・1082565Ｈｚ，・・となる。
10.次の５度（Ｇ（ト）音）を純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・3247695Ｈｚ，・・となる。
11.次の５度（Ｄ（ニ）音）を純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・9743085Ｈｚ，・・となる。
12.お疲れさまでした（笑）・・いよいよ最後の５度（Ａ（イ）音）を
純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・29229255Ｈｚ，・・となる。
↑
この（計算上の）周波数はすでに可聴範囲をめちゃくちゃ超えている（笑）はずなので、何オクターブか下げる（２の倍数で割る）必要があります。（実践ではオクターブ下げて小数点付きのもっと低い値を採用して「音階」を作っていくことになります。）
で、２で割っていくと、
・・・7136.048584
3568.024292
1784.012146
892.006073
446.0030365
223.0015182
111.5007591
・・・・・となります（計算合ってるよなぁ？(^_^; (汗））
要するに、元の音のＡ（イ音）と一致するためには、上記の110Ｈｚ，220Hz，440Ｈｚ，880Ｈｚ，・・・となる必要があるのに、周波数比２：３の純正５度を（１２回）積み上げて行くと、実際には、最後のＡ（イ音）になる（はずの）音高が、約111.5Ｈｚ，約223Hz，約446Ｈｚ，約892Ｈｚ，・・・に上ずってしまい一致しない（泣）、というわけです。
※↓下手ですが、一応図を描いてみました（平成２２年７月６日追加！）。
この余った音程は、『（平均律の）半音の約1/4』であり、これを調律の世界では「ピタゴラス・コンマ」と呼ぶのです。つまり、周波数比２：３の純正５度は、（ピタゴラスによって、紀元前（今から２５００年以上も昔（！！））に既に発見されていた、と考えられていることから）、別名「ピタゴラスの５度」とも呼ばれ、このピタゴラスの５度を積み重ねることで生じる剰余量が「ピタゴラス・コンマ」という訳です。
一方、チューナーなどで使っている「セント」という単位は、（平均律の）半音を『１００（等分）に分割した値』です（対数、ｌｏｇの世界）
（故に、平均律の半音音程＝１００セント、あらゆる調律法における１オクターブ＝１２００セント）。 ↑
↑
これが「オクターブ絶対の原則」の表われ、と言えます。
これを前提としないと、内容が複雑になりすぎて、
各調律法の比較等の議論が出来なくなってしまいます。
そして、上記ピタゴラス・コンマは、約「２４」セントです。
付言すると、平均律の調律法は、全ての５度を（周波数比２：３の純正よりも）『２セントだけ狭くする（＝わずかに唸らせる）』（すなわち２セント×１２個の５度＝２４セント）ことで帳尻を合わせる（笑）方法なのです。
一方、（現代でも多くの超一流ピアニストが使っている）ヴェルクマイスターの代表的な調律法（第１技法第３法）では、「Ｃ－Ｇ間、Ｇ－Ｄ間、Ｄ－Ａ間、Ｂ－Ｆ＃間」をそれぞれ６セントずつ狭くして（６セント×４個の５度＝２４セント）、残りの８個の５度を２：３の純正（唸りが皆無）に調整する、いわゆる「不均等調律」の手法を採ります。このようにすると、「調号（＃、ｂ）の少ない調は長３度が綺麗になり、そうでない調は汚くなる」ことになりますが、「なぜそうなるのか？」については、次回以降に書こうと思います。
以上、これだけ知っているだけでも、友人、知人等に差を付けて
「偉ぶる」ことができる（笑）ことは間違いありません。
＜Ｈ１６．１１．３０（火）＞
－－－コピペモード終わり－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【koten】：今から約６年前ですか、・・この頃から既にうだうだ＆長々と偉そう～に書いてましたね（汗）、既にこの頃から括弧書きを多用しているし。
〔Ｍ〕：「自分の知識を披露する喜びに満ち溢れてている」って感じの文章ですね。
【koten】：いやぁ恥ずかしかぁ、とても恥ずかしかぁ（汗）
【イッテツ】：お、もうこんな時間だぞ！
【koten】：う、まずい、チェンバロ練習しないと（汗）。。土曜日がレッスンなのに、全然弾けてないんですよ（泣）
〔Ｍ〕：あらら、がんばってくださいね～
【koten】：○○大学古典ギタークラブの方、分からないところがあったら遠慮なく質問してくださいね～ ではまた！
a8mat=2BY7HO+F5YIIA+33TA+609HT" target="_blank">
【koten】：さてさて、今日もやって来ました、「ミーントーン大好き！」のコーナー（☆◇やんややんや◇☆）
【イッテツ】：今日は何の議題かいな？
【koten】：今日は音律の議論をする上で必ず知っておかなければならない「ピタゴラスコンマ」の解説でもしましょうか？
〔Ｍ〕：それ、ここに来るような人はみんな知っているのでは？（汗）
【koten】：いや、最近、○○大学古典ギタークラブの人が読みに来てるはずだから、その人達のために。あと、昨日の１９世紀うねうねフレットギターの音律の数値を発表しようと思ったのだけど、その「数値の意味」を読者全員に理解してもらうためには、基礎知識の講義もしておかないと、、、でしょ？
【イッテツ】：出来るだけ多くの人に理解してもらおう＆布教しようって算段か・・お前さん、ナカナカやるじゃないか（笑）
【koten】：何せ「悪」ですからね（笑）
〔Ｍ〕：それじゃ、早速はじめましょうよ。
【koten】：ほいほい・・・ええと、○○大学古典ギタークラブの皆さま（特に現役生の方）、クラシックギターでは「即効性」のない知識かも知れませんが、「ピタゴラスコンマ」は結構重要＆分かると非常に面白いものですので、まずはこれだけでも知っておいていただけると嬉しいです。
ちなみに当クラブのＯＢ会ＭＬに入っている方は、ここをクリックすれば解説に辿りつけます。
http://file1.grp.yahoofs.jp/v1/sAwzTJxQDLxbtp3OMdVLdNp1_a54XAagglBT27xS7a_z9OE5pyyvCJ7LfP-2-GmCxxdhy1R1vQgwZJLQ9Mj4QdmcvEU/%80%A0%A3%BE%AE%C0%EE%A4%CE%C3%CF%B2%BC%BC%BC/%80%A0%A3%A5%DE%A5%CB%A5%A2%A5%C3%A5%AF%A4%CA%C9%F4%B2%B0%28%5E_%5E%3B%20%28%80%A0%A3%B4%C0%A1%CB/%80%A0%A3%C4%B4%CE%A7%CF%C0%C6%FE%CC%E7%B0%CA%C1%B0
ＯＢ会ＭＬ入ってない方で興味がある関係者の方（現役生又はＯＢ）は、是非ＭＬに入ってくださいね～
これで終わってはイジワルなので（笑）今回だけ（？）は、コピペしますね。
－－－コピペモード（若干修正＆図の加え等あり）－－－－－－－－－－－－
調律論の基礎知識
*「オクターブ絶対」の原則
*「きれいな５度（できるだけ純正に近い５度）を作るよりも、
きれいな３度（できるだけ純正に近い３度、特に「長」３度）を作る方が重要である。」
*「（その調の）３度がどう調整されるか（純正にどれだけ近いか or
遠いか）によって、（その調の）『性格』が決まる。
（ｅｘ．明るい/暗い、力強い、華やか、透明感がある、などなど）。」
【ここから本論！】
※純正５度を積み重ねると、なぜ「元の高さよりも高くなってしまう」のか？＜以下、【力技モード】(^_^; (汗）＞
ｅｘ．Ａ（イ）の音（110Ｈｚ，220Hz，440Ｈｚ，880Ｈｚ，・・・）を基準に考えてみると、
1.純正５度（周波数比２：３）でＥ（ホ）の音を作ると、
・・330Hz，660Ｈｚ，・・となる。
（↑要するに、元の音に「３」を掛けて、適宜「２」で割れば良い。）
2.次の５度（Ｂ（ロ）音）を純正５度で作ると、
・・495Hz，990Ｈｚ，・・となる。
3.次の５度（Ｆ＃（嬰ヘ）音）を純正５度で作ると、
・・742.5Hz, 1485Ｈｚ，・・となる。
4.次の５度（Ｃ＃（嬰ハ）音）を純正５度で作ると、
・・（すみません、小数点でてくると煩雑になるので、以下は整数値の値だけ記しますね（汗））・・・・4455Hz・・となる。
5.次の５度（Ｇ＃（嬰ト）音）を純正５度で作ると、
・・（小数点の値は省きます～）・・・・13365Ｈｚ，・・となる。
6.次の５度（Ｄ＃（嬰ニ）音）を純正５度で作ると、
・・（同上ですぅ～）・・・40095Ｈｚ，・・となる。
7.次の５度（Ａ＃（嬰イ）音）を純正５度で作ると、
・・（同上ですぅ～）・・・120285Ｈｚ，・・となる。
8.次の５度（Ｆ（ヘ）音）を純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・360855Ｈｚ，・・となる。
9.次の５度（Ｃ（ハ）音）を純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・1082565Ｈｚ，・・となる。
10.次の５度（Ｇ（ト）音）を純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・3247695Ｈｚ，・・となる。
11.次の５度（Ｄ（ニ）音）を純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・9743085Ｈｚ，・・となる。
12.お疲れさまでした（笑）・・いよいよ最後の５度（Ａ（イ）音）を
純正５度で作ると、
・（同上ですぅ～）・・29229255Ｈｚ，・・となる。
↑
この（計算上の）周波数はすでに可聴範囲をめちゃくちゃ超えている（笑）はずなので、何オクターブか下げる（２の倍数で割る）必要があります。（実践ではオクターブ下げて小数点付きのもっと低い値を採用して「音階」を作っていくことになります。）
で、２で割っていくと、
・・・7136.048584
3568.024292
1784.012146
892.006073
446.0030365
223.0015182
111.5007591
・・・・・となります（計算合ってるよなぁ？(^_^; (汗））
要するに、元の音のＡ（イ音）と一致するためには、上記の110Ｈｚ，220Hz，440Ｈｚ，880Ｈｚ，・・・となる必要があるのに、周波数比２：３の純正５度を（１２回）積み上げて行くと、実際には、最後のＡ（イ音）になる（はずの）音高が、約111.5Ｈｚ，約223Hz，約446Ｈｚ，約892Ｈｚ，・・・に上ずってしまい一致しない（泣）、というわけです。
※↓下手ですが、一応図を描いてみました（平成２２年７月６日追加！）。
この余った音程は、『（平均律の）半音の約1/4』であり、これを調律の世界では「ピタゴラス・コンマ」と呼ぶのです。つまり、周波数比２：３の純正５度は、（ピタゴラスによって、紀元前（今から２５００年以上も昔（！！））に既に発見されていた、と考えられていることから）、別名「ピタゴラスの５度」とも呼ばれ、このピタゴラスの５度を積み重ねることで生じる剰余量が「ピタゴラス・コンマ」という訳です。
一方、チューナーなどで使っている「セント」という単位は、（平均律の）半音を『１００（等分）に分割した値』です（対数、ｌｏｇの世界）
（故に、平均律の半音音程＝１００セント、あらゆる調律法における１オクターブ＝１２００セント）。 ↑
↑
これが「オクターブ絶対の原則」の表われ、と言えます。
これを前提としないと、内容が複雑になりすぎて、
各調律法の比較等の議論が出来なくなってしまいます。
そして、上記ピタゴラス・コンマは、約「２４」セントです。
付言すると、平均律の調律法は、全ての５度を（周波数比２：３の純正よりも）『２セントだけ狭くする（＝わずかに唸らせる）』（すなわち２セント×１２個の５度＝２４セント）ことで帳尻を合わせる（笑）方法なのです。
一方、（現代でも多くの超一流ピアニストが使っている）ヴェルクマイスターの代表的な調律法（第１技法第３法）では、「Ｃ－Ｇ間、Ｇ－Ｄ間、Ｄ－Ａ間、Ｂ－Ｆ＃間」をそれぞれ６セントずつ狭くして（６セント×４個の５度＝２４セント）、残りの８個の５度を２：３の純正（唸りが皆無）に調整する、いわゆる「不均等調律」の手法を採ります。このようにすると、「調号（＃、ｂ）の少ない調は長３度が綺麗になり、そうでない調は汚くなる」ことになりますが、「なぜそうなるのか？」については、次回以降に書こうと思います。
以上、これだけ知っているだけでも、友人、知人等に差を付けて
「偉ぶる」ことができる（笑）ことは間違いありません。
＜Ｈ１６．１１．３０（火）＞
－－－コピペモード終わり－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【koten】：今から約６年前ですか、・・この頃から既にうだうだ＆長々と偉そう～に書いてましたね（汗）、既にこの頃から括弧書きを多用しているし。
〔Ｍ〕：「自分の知識を披露する喜びに満ち溢れてている」って感じの文章ですね。
【koten】：いやぁ恥ずかしかぁ、とても恥ずかしかぁ（汗）
【イッテツ】：お、もうこんな時間だぞ！
【koten】：う、まずい、チェンバロ練習しないと（汗）。。土曜日がレッスンなのに、全然弾けてないんですよ（泣）
〔Ｍ〕：あらら、がんばってくださいね～
【koten】：○○大学古典ギタークラブの方、分からないところがあったら遠慮なく質問してくださいね～ ではまた！
タグ：ピタゴラスは偉大だった
2010-07-06 21:39
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この記事を読んで心打たれた方は
うねうねフレットギター 古典音律フレット 非平均律フレット楽器
古典調律鍵盤楽器
ちょっぴりネタバレすると、響きの考古学にも書かれているように、ピタゴラスコンマ付近では純正に近い長3度(確か384.360セント)が得られます。
これはピタゴラスコンマ(23.460セント)が純正長3度を作るときに生じるシントニックコンマ(21.506セント)と偶然非常に近いためです。
ルーツこそおそらく違いますが、実はキルンベルガー第1法がピタゴラス音律の五度圏と酷似しています。ピタゴラスコンマをシントニックコンマとスキスマ(1.954セント)に分配しているか否かの程度です。
キルンベルガーは純正律をもとに第1法を考案したようですが、「もし」このような背景を知っていたとすれば、中世、ルネサンスの流れを汲んだ、歴史的に見れば正統派の音律といえるかもしれません。あくまでも憶測の範疇ですが。
by ぺかっち (2010-07-06 23:56)
ぺかっちさん、コメントありがとうございます。
あ”～シントニックコンマについては、今日の記事で書こうとおもったのに～（爆笑）
キルンベルガーの第１、第２、第３の音律は、「音律の歴史を反映したもの」というような評価がされてますよね。そういえば、キルンベルガーの「純正作曲の技法」を買ったので、音律論についてどれだけ記載されているか調べてみますね。
by koten (2010-07-07 07:18)